Współrzędne geograficzne
Geocaching to gra oparta na geolokalizacji. Do określenia miejsca można użyć różnych sposobów. Listonosz przynosi przesyłki na adres pocztowy. Kurierzy używają kodu paczkomatu. Ale bardziej uniwersalnym oznaczeniem konkretnego miejsca na Ziemi są współrzędne geograficzne. Co to takiego?
Ze szkoły pamiętamy że Ziemia ma kształt zbliżony do kuli. W związku z ruchem obrotowym naszej planety wyróżniono pojęcie oś obrotu. Wyobraźmy sobie kręcącą się piłkę nadzianą na długą szpilkę. Miejsce gdzie szpilka przebija piłkę nazywamy biegunami. Teraz wyobraźmy sobie środek masy kuli oraz płaszczyznę prostopadłą do osi obrotu przechodzącą przez środek masy. Płaszczyzna dzieli nam kulę na dwie półkule (północną i południową). A miejsce podziału na powierzchni nazywamy równikiem. Równik jest zatem okręgiem, ale szczególnym. Zmierzono, że długość równika (okręgu) Ziemi to 40 075 km. Równik dzieli kulę w jej najszerszym jej miejscu. Możemy sobie wyobrazić inne płaszczyzny które są równoległe do tej co przechodzi przez równik na północ albo na południe od niej tnąc kulę na plasterki. Powstaną nam przez to równoleżniki. Równoleżnik o najdłuższym obwodzie to właśnie równik. Jak nad tym wszystkim zapanować? Przecież jest ich bardzo dużo. Oznaczono równoleżniki kątem mierzonym od środka masy oraz równikiem. Zatem równik ma miarę 0 stopni, biegun północny lub biegun południowy ma miarę 90 stopni. A to co pomiędzy równikiem a biegunem przyjmuje wartość pomiędzy 0 a 90 stopni.
Mamy zatem dość dobrze określoną miarę wyrażającą szerokość geograficzną. Położenie oznaczamy liczbą z pierwszą literą angielskiej nazwy Północ / Południe (North, South), np. N51° (pięćdziesiąty pierwszy stopień szerokości geograficznej północnej). Szerokość geograficzną można też oznaczyć skrótowo bez literek przyjmując dodatnią wartość dla północy i ujemną dla południa. Czyli -48 oznacza tyle co S48°.
Grałeś kiedyś w statki? Tam do oznaczenia położenia używaliśmy dwóch współrzędnych, np. B8. Tutaj jest podobnie. Współrzędne geograficzne składają się z dwóch współrzędnych: (Szerokości i Długości).
No właśnie, a co to takiego ta długość geograficzna?
Wyobraźmy sobie, że mamy sznurek. Dużo sznurka. Zawiązujemy jeden koniec sznurka na biegunie północnym a drugi na biegunie południowym. Ile może być różnych położeń tego sznurka pomiędzy biegunami? No, dużo. Każdy z tych sznurków biegnie z północy na południe. Dlatego został nazwany południkiem. Żeby nad tym jakoś zapanować umówiono się że jeden szczególny południk przechodzący przez park na przedmieściu Londynu w Greenwich oznaczono miarą południka zero (a dokładnie południk przechodzący przez główny teleskop obserwatorium). Ten południk również dzieli Ziemię na dwie półkule: wschodnią i zachodnią. Punkty na Ziemi położone na półkuli wschodniej (czyli na wschód od Greenwich) mają długość geograficzną wschodnią (symbol E), z drugiej strony południka zero jest długość geograficzna zachodnia. Miara pełna kąta to 360 stopni. Przyjęto więc, że połowa z tego, czyli 180 leży na wschód a drugie 180 stopni leży na zachód. W uproszczeniu przyjmuje się że długość wschodnia ma wartości dodatnie a zachodnia wartości ujemne. Obwód Ziemi mierzony po południku to już 40 030 km
Każdy punkt na Ziemi możemy określić za pomocą tych dwóch parametrów: Szerokości (latitude) i Długości geograficznej (longitude).
Można zauważyć też praktyczne zastosowanie tak przyjętej metody oznaczania miejsca. W zależności od długości geograficznej można obliczyć słoneczny czas miejscowy. Począwszy od południka zero na którym czas nosi nazwę czasu uniwersalnego GTM . Korzystając w prostego przekształcenia (360° / 24h = 15 ° ) dla punktów położonych na wschód dodaje się godziny (zegarowe), na zachód odejmuje się godziny dla każdych 15 stopni.
A jak się mają te stopnie (miara kątowa) do odległości? A to zależy od szerokości. Na równiku jeden stopień to 111,32 km. na biegunie to zero km. Wyrażenie położenia w stopniach może być tutaj bardzo zgrubnym przybliżeniem. Dlatego posłużono się ułamkiem stopnia. Dosyć prostym modelem było użycie minut. Przyjmuje się że jeden stopień to to samo co 60 minut kątowych(‘). (można też dalej: 1 minuta to 60 sekund , albo 1’ = 60’’).
O ile równik (równoleżnik zero) to największy równoleżnik (jest tylko jeden) o tyle południk zerowy jest wybrany umownie. W przeszłości stosowano różne południki zero. Najczęściej był to ten przechodzący przez stolicę danego kraju. Do różnych zagadek jednak możemy być poproszeni o wybór odniesienia np. Rzym, Pułkowo obok Petersburga, Kopenhagę.
Współrzędne geograficzne to długość i szerokość geograficzna mierzona w stopniach, minutach i sekundach kątowych. Początkiem układu współrzędnych geograficznych jest przecięcie południka zerowego z równikiem. Istnieje kilka różnych formatów zapisywania współrzędnych geograficznych.
Przyjmujemy oznaczenie:
D – stopnie
M – minuty
S – sekundy.
I mamy np:
DMS – stopnie, minuty, sekundy
DM – stopnie i minuty
D – stopnie
Która jest najlepsza? Ciężko powiedzieć, ale warto umieć przekształcać współrzędne pomiędzy tymi notacjami.
Iglica Pałacu Kultury i Nauki w Warszawie ma współrzędne geograficzne N52o 13’ 54.24” E21o 00’ 22.44” . To zapis w postaci DMS. Zauważ że stopnie i minuty są liczbami całkowitymi a sekundy są ułamkiem z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku – sekundy i setne części sekundy.
Jakbyśmy chcieli przeliczyć je na postać DM?
Sekunda to 1/60 część minuty. Wystarczy więc podzielić sekundy przez 60 i otrzymamy tysięczne części minut:
Wychodząc od N52o 13’ 54.24” E21o 00’ 22.44” dzielimy 54.24/60 = 0,904 oraz 22.44/60=0,374.
Zatem w notacji DM to będzie N52o 13.904’ E21o 00.374’. Proste?
Te same współrzędne można też wyrazić w stopniach (w takim formacie zapisane są informacje w pliku graficznym o miejscu zrobieniu zdjęcia).
Wychodząc od 13.904/60 = 0.2317333 , 0.374/60 = 0,0062333
Zatem współrzędne wyrażone w minutach mają postać 52.231733 21.006233
Aby przekształcić współrzędne z D na DM albo z DM na DMS wystarczy zamiast dzielenia pomnożyć przez 60.
Warto zauważyć że liczba miejsc po przecinku w dokonanych obliczeniach ma znaczenie dla dokładności wyznaczenia lokalizacji. Przyjmuje się że mamy następujące formaty danych:
D – N00.000000 o E000.000000 o – sześć miejsc po przecinku
DM – N00 o 00.000’ E000 o 00.000’ – trzy miejsca po przecinku
DM+ – N00 o 00.00000’ E000 o 00.00000’ – pięć miejsc po przecinku
DMS – N00 o 00’ 00.00” E000 o 00’ 00.00” – dwa miejsca po przecinku
Oprócz długości i szerokości geograficznej ważny jest jeszcze trzeci wymiar dotyczący wysokości ponad poziom morza lub odległości od środka Ziemi.
Azymut
Azymut to nic innego jak kąt pomiędzy biegunem północnym a danym kierunkiem. Wartość azymutu przedstawia się w stopniach i podaje zgodnie z ruchem wskazówek zegara (chodzi o zegar mechaniczny ze wskazówkami)
Ale jak praktycznie wyznaczyć kierunek północny? Mech na drzewach? Gwiazda Polarna?, ułożenie mrowiska?, słoje ściętych drzew? Oczywiście – ale mało dokładnie.
Lepszym narzędziem jest kompas magnetyczny. Wykorzystuje pole magnetyczne Ziemi i zwraca wskazówkę igły w kierunku północnym. W kierunku północnego bieguna magnetycznego.
I było by wszystko w porządku gdyby biegun magnetyczny północny pokrywał się z biegunem geograficznym. Jeszcze na początku XX wieku północny biegun magnetyczny leżał na terytorium Kanady. Co kilka lat przyjmuje się jego nowe położenie. Biegun magnetyczny obecnie zmierza na Syberię z prędkością 40 km rocznie. Urządzenia elektroniczne obliczają hipotetyczny kierunek geograficznej północy na podstawie pola magnetycznego oraz poprawki (tzw. deklinacji magnetycznej).
Jeśli obliczamy azymut dla odległości w tysiącach kilometrów można się przejmować dokładnością obliczeń. Jeśli mówimy o bliskiej odległości to nie warto się tym martwić.
Odległość między dwoma bliskimi punktami współrzędnych geograficznych.
Jeśli oba punktu leżą względnie blisko siebie można założyć, że Ziemia jest płaska i zastosować twierdzenia Pitagorasa do obliczenia długości przeciwprostokątnej trójkąta w którym przyprostokątne to różnice dla współrzędnej szerokości i długości geograficznej pomnożone przez odpowiednie współczynniki. Współczynnik jest proporcją odległości kątowej do długości części południka lub równoleżnika 52.231
Policzymy odległość od iglicy PKiN od środka Dworca Centralnego, czyli pomiędzy
N 52° 13.904′ E 21° 00.374′ i N 52° 13.731′ E 21° 00.194′
S1 = 13.904’ – 13.703’ = 0,173’
D1 = 00.374’ – 00.194’ = 00.180’
Długość równika = 40 075 km. W przybliżeniu 1 minuta południkowa to 1,855324 km
Średni promień Ziemi = 6371 km
Długość równoleżnika 51.231° obliczamy ze wzoru 2 * π * promień_Ziemi * cos (51.231° * π /180°) = 25 066 km. 1 minuta równoleżnikowa to zatem 1,160471 km
Nasza obliczona odległość to pierwiastek z ((0,173 * 1,160471)2+ (0,18 * 1,855324) 2) = 0,389658 km (389,6 metra)
Stosując tą metodę należy pamiętać ze Polska leży pomiędzy równoleżnikiem 49.01 (Przełęcz Użocka) a 54.83 (Jastrzębia Góra), więc do obliczeń należy wziąć bieżącą szerokość geograficzną.
Odległość między dwoma dowolnymi punktami współrzędnych geograficznych.
Bardziej komplikuje się wzór na obliczenie punktów położonych w znacznej odległości od siebie. W takim przypadku należy obliczyć długość łuku sfery korzystając z trygonometrii sferycznej.
Dla współrzędnych pierwszego punktu P1(a1,b1) oraz P2(a2,b2) wzór na odległość to:
Odległość = miara_kątowa * promień_Ziemi, gdzie:
Miara_kątowa = pierwiastek_kwadratowy((przyrost_X)2 +(przyrost_Y)2 +(przyrost_X)2 )
przyrost_X = cos(a2)*cos(b2) – cos(a1)*cos(b1)
przyrost_Y = cos(a2)*sin(b2) – cos(a1)*sin(b1)
przyrost_Z = sin(a2) – sin(a1)
Dla konkretnego przypadku: odległość pomiędzy PKiN w Warszawie a Kaplicą Zygmuntowską w Krakowie:
P1 = N52o 13.904’ E21o 00.374’ P2=N 50° 03.272′ E 19° 56.133′
Najpierw musimy przekształcić współrzędne do postaci DD otrzymując:
P1= 52.231733 21.006233 P2= 50.054525 19.935545
a1 = 52.231733 ° * π /180° = 0.911616
b1 = 21.00623° * π /180° = 0.3666279
a2 = 50.05453° * π /180° = 0.873616
b2 = 19,93555° * π /180° = 0.3479409 (wyrażone w radianach)
przyrost_X = cos(a2)*cos(b2) – cos(a1)*cos(b1) = 0,031819
przyrost_Y = cos(a2)*sin(b2) – cos(a1)*sin(b1) = -0,00063
przyrost_Z = sin(a2) – sin(a1) = -0,02384
Miara_kątowa = pierwiastek_kwadratowy( (0,031819) 2 + (-0,00063)2 + (-0,02384)2 )= 0,0397631
Odległość = 0,0397631 * 6371 = 253,33055 km
Powyższy model daje wyniki z dokładnością większą niż pół promila. Jeszcze bardziej dokładny model, ale jeszcze bardziej skomplikowany jest oparty nie na sferze ale na elipsoidzie.
Używając tych samych elementów można obliczyć azymut pomiędzy dwoma współrzędnymi geograficznymi. Można też policzyć gdzie znajduje się punkt oddalony od podanych współrzędnych i podanej odległości.
Projekcja współrzędnych
Oczywiście, można. Tylko trudno się liczy to na telefonie będąc w terenie. W takich przypadkach używamy gotowych „kalkulatorów”, które liczą to dla podanych wartości.
Takimi użytecznymi narzędziami jest np. Geocaching Toolbox albo aplikacja działająca pod systemem iOS o nazwie GCTools
Po nitce do kłębka
Świadome używanie odpowiednich współrzędnych może zaoszczędzić sporo czasu przy poszukiwaniu pojemnika finałowego ale też w dotarciu do rozwiązania zagadki czy obliczeniach dla skrytki wieloetapowej. Z czasem staje się praktyką.
Powodzenia!